Как изобрести математическое понятие

Если вам не дается математика, возможно, дело не в вас, а в том, как вам ее преподносят. Джейсон Уилкс в своей книге «Математика в огне. Нескучный неучебник» переворачивает привычное представление о математике как о скучной и абстрактной дисциплине, которую только и остается что вызубрить, и предлагает вам изобрести свою математику. Да-да, вы правильно прочитали — изобрести.

Прежде чем мы создадим анализ, нужно узнать, как создавать вещи. А точнее, нам надо понять, как разработать математические понятия. Проиллюстрируем процесс на двух простых примерах: площадь прямоугольника и крутизна линии.❓Позже мы увидим, что два этих понятия образуют хребет анализа. Первое — основа для «интеграла», второе — для «производной». Эти понятия противоположны, а точный смысл, в котором они противоположны, описывается так называемой основной теоремой анализа (формулой Ньютона — Лейбница).

Не беда, если вы уже знаете, как вычислять их. Любой что-то приобретет от обсуждения этих вопросов — или в своем понимании, или в их преподавании, поскольку процесс изобретения обсуждается редко.

Когда мы изобретаем математику с нуля, мы всегда начинаем с интуитивно ясного обиходного понятия. Процесс изобретения содержит попытку перевести размытую качественную идею в точную количественную. Никто не может по-настоящему представить объект в пяти, семнадцати или бесконечном числе измерений. Как же математики определят что-то вроде «кривизны» способом, который позволит им говорить о кривизне многомерных объектов? Как человек пришел к нужным определениям, когда они зачастую столь абстрактны, что вроде бы нужно иметь сверхчеловеческие способности к многомерной интуиции, чтобы «увидеть» истину?

Этот процесс вовсе не так загадочен, как кажется. Создание — просто переход от качественного к количественному

Надеюсь, явное обучение процессу создания на всех уровнях математики в один прекрасный день найдет достойное место в учебных программах вместе с менее важными вопросами вроде сложения, умножения, линий, плоскостей, окружностей, логарифмов, групп Сюлова, фракталов и хаоса, […] и всего прочего, что мы преподаем студентам-математикам от начальной школы до докторантуры. Но это гораздо важнее.

Добыча в наших мозгах: изобретение площади

[…] Тот факт, что прямоугольник длиной l и шириной w имеет площадь lw, прост, и вы почти наверняка это знаете. Постарайтесь забыть это. Вообразим, будто у нас нет представления, что площадь прямоугольника — произведение его длины на ширину.

Предположим, мы примерно знаем, что подразумеваем под «площадью» в нематематическом смысле. Иными словами, мы в курсе, что это слово, описывающее, насколько велика некая двумерная штука, но не знаем, как связать это понятие с чем-то математическим. На этом этапе мы можем использовать сокращение A (area) для площади и написать бесполезную фразу вроде A = ?, но не более того. Однако, исходя из нашего обиходного нематематического представления, мы доподлинно знаем следующее.

Придумаем сокращение для этих слов. Мы можем выразить вышесказанное в крайне сжатой форме, написав:

вместо A = ?, как выше. Новое нечто внутри скобок сообщает: «Это как-то зависит от длины и ширины, и мы сократим их до l и w. Я не знаю больше ничего».

[…]

Поскольку мы строим точное математическое понятие площади, начав с интуитивного обиходного представления, у нас нет чисел, от которых можно оттолкнуться. Если у нас нет ничего количественного, с чего можно начать, приходится начинать с качественного. Поскольку нет законов, указывающих нам, что нужно делать, мы хотим обеспечить, чтобы наше точное понятие соответствовало обиходному. Посмотрим, что еще говорит наше обиходное математическое представление.

Неясного интуитивного нематематического представления о площади недостаточно, чтобы сообщить нам, что площадь прямоугольника — произведение длины на ширину, но достаточно, чтобы показать: если мы удваиваем ширину, площадь удвоится (длину пока оставляем неизменной). Мы можем записать эту идею так:

По тем же соображениям, если мы удвоим длину, не меняя ширину, площадь тоже удвоится. Мы можем сократить это так:

В этом предложении не обязательно использовать именно удвоение. Если мы утроим ширину, то получим три копии исходной штуки и площадь утроится. То же можно сказать про длину, учетверение или умножение на любое другое целое число. А как насчет нецелых чисел? Скажем, если мы изменим длину с l на «полтора l» (не меняя ширины), то получим полторы копии исходной фигуры; соответственно, и площадь должна быть в полтора раза больше оригинала. Получается, что бы мы ни подразумевали под площадью, предложения такого рода отражают наше интуитивное представление, что величина увеличения неважна. Мы можем записать сразу весь этот бесконечный набор предложений так:

и

[…]

Уравнения 1.1 и 1.2 говорят нам, что мы можем вытаскивать числа из Машины вычисления площади независимо от их значения. Но если это правда, ничто не мешает нам быть ловкими и вытащить наружу сами длину и ширину! В конце концов, это просто числа. Поскольку l — то же, что l ⋅ 1, а w — то же, что w ⋅ 1, мы можем тишком использовать оба факта из уравнений 1.1 и 1.2 для самих чисел l и w Получится так:

И это показывает, что площадь прямоугольника равна длине, умноженной на ширину… и еще на что-то. Что вообще это A(1, 1) тут делает?!

Оказывается, уравнение 1.3 показывает нам понятие единиц измерения. Оно сообщает, что мы можем выяснить площадь любого прямоугольника, но только после того, как установим площадь единичного прямоугольника — с длиной 1 и шириной 1 (либо любой другой). Если бы мы измеряли длины в световых годах, мы бы хотели, чтобы A(1, 1) было бы площадью одного квадратного светового года. Если бы мы измеряли длины в нанометрах, мы бы хотели, чтобы A(1, 1) было площадью одного квадратного нанометра.

Обычно мы выходим из этой ситуации, принимая, что A(1, 1) должно быть 1. Но это просто для удобства. Мы могли бы выбрать, чтобы A(1, 1) представлялось числом 27, если нам хочется, и тогда у нас появится формула A (l, w) = 27lw. Выглядит странно, но никакой ошибки тут нет. Вместо того чтобы принудительно считать A(1, 1) единицей или другим числом, мы можем интерпретировать уравнение 1.3 иначе:

Это показывает, что нам не нужно говорить о единицах измерения (иными словами, решать, чем должно быть A(1, 1) по нашему желанию), но мы больше не можем говорить о самих площадях. Такая интерпретация сообщает, что кое-что равно длине, умноженной на ширину, но это не площадь. Это «отношение» площадей, или сколько раз вы можете уложить A(1, 1) в A (l, w).

[…]

Нетрудно убедиться, что тот же аргумент будет работать в любом числе измерений. Представим, что у нас есть трехмерная штука вроде ящика, и обозначим ее длину, ширину и высоту буквами l, w и h. По тем же причинам, что и для прямоугольника, если мы удвоим, например, высоту, не меняя длину и ширину, мы получим два исходных ящика, и объем должен удвоиться. Как и ранее, не обязательно именно удваивать, можно увеличить в любое число раз. То же для длины и ширины. Соответственно, в трех измерениях такие утверждения верны для любого числа #, которое не обязательно одно и то же в трех следующих предложениях:

Как и ранее, мы можем использовать эти идеи для самих чисел l, w и h и написать:

Сейчас можно сделать кое-что более странное и интересное: начать говорить о пространствах более высокой размерности. Если n — некое большое число, мы не можем нарисовать ничего в n-мерном пространстве. Никто на самом деле не может. На данном этапе мы даже не вполне уверены, что́ мы подразумеваем под выражением «n-мерное пространство». Отлично! Никто не мешает сказать: «Что бы я ни подразумевал под n-мерным пространством и n-мерной версией прямоугольной штуки вроде ящика, они должны вести себя достаточно похоже на „родственников“ в двух и трех измерениях, и мы можем применить те же аргументы, которые только что использовали. А если они не ведут себя так, это просто не то, что я сейчас подразумеваю под n-мерным пространством». Тогда мы можем решительно написать:

где V заменяет «то, что мы желаем назвать объемом в n-мерном пространстве». Причем мы решили не давать всем направлениям собственные странные имена, как для двух и трех измерений. Проще сократить их до буквы l, а потом прикрепить к каждому разные номера, чтобы называть их по отдельности (l1, l2,… , ln).

[…]

Итак, мы видим, что в процессе размышления о нашем обиходном представлении о площади при сокращении наших мыслей способом, который сводит бесконечно много предложений в одно, наши расплывчатые идеи привели к тому, что площадь прямоугольника должна быть lw A(1, 1). Так мы обнаружили не только знакомую формулу «длина, умноженная на ширину», но и еще одну вещь, которую забыли рассмотреть: понятие единиц измерения. Однако математика любезно напомнила нам об этом.

[…]

1.2.2. Как делать все неправильно: наставление о глупости запоминания

Одна из худших черт многих начальных курсов математики (как минимум тех, что были у меня) в том, что преподаватели как-то становятся убежденными сторонниками мнения, будто цель курса — сообщать вам факты. Я больше не могу с этим соглашаться. Вы удивитесь: о чем же может быть курс, по моему мнению, если не о математике? Это важно, давайте скажем это раз и навсегда и поместим в рамочку.❓Зачем писать это в рамочке с таким пафосным названием? Хороший вопрос! Полное раскрытие: когда вы пишете книгу (как я понял с тех пор, как начал писать), забавно порой проявлять уважение к чему-то, что вам нравится. Эта рамочка — знак уважения моему любимому учебнику, опубликованному после смерти автора главному труду Эдвина Джейнса «Теория вероятностей. Логика науки». Возможно, поскольку он умер, не завершив книгу, но также потому, что Джейнс был огненным человеком и этот труд полон его удивительно душевных личных острот и многого другого, что редко встречается в учебниках. Например, «Заявление об эмансипации» в приложении B. Мне всегда нравился этот раздел. Сейчас я пишу свою книгу с данью уважения Джейнсу. Он заслужил это.

[…]

Математика — целый мир, в котором нет ничего случайного и где разум может обучать себя так интенсивно и четко, как не выйдет с другой дисциплиной. Более того, по ходу обучения разума вы попутно изучите предмет, который — так уж сложилось — описывает все в мире. Это невероятно полезно, но такая практичность — побочный эффект тренировки ума. Если уж говорить о том, что полезно и стоит занести в рамочку, вот еще кое-что, чего вам никогда не расскажут.

Как только мы поймем это, мы сразу заметим два обстоятельства. Во-первых, очевидно, почему тренировать разум таким образом полезно, независимо от того, что вы делаете. Во-вторых, очевидно, что курсы математики сфокусированы в точности на неправильных вещах.

Изучим конкретный пример. В курсах алгебры заполнившим класс сонным ученикам рассказывают о чем-то, именуемом методом FOIL. Это расшифровывается как First, Outer, Inner, Last — «первые, внешние, внутренние, последние».❓Это англоязычное мнемоническое правило помогает запомнить порядок слагаемых при раскрытии произведения двучленов: сначала произведение первых слагаемых, потом внешних и т. д. Прим. перев.

Это правило для запоминания предложений вроде:

или, в более общем виде,

Мы уже видим, что FOIL — способ помочь вам запомнить факт о математике, а не открывать его заново всякий раз, когда он вам понадобится. В чем тут суть? Большинство учащихся могут увидеть ее лучше, чем учителя: ее тут нет. Изобретем оба факта так, чтобы нам никогда не понадобилось запоминать их снова.

Если мы возьмем лист бумаги и нарисуем на нем картинку, она не изменит площади листа. Не важно, что мы изобразим: домик, дракона или что-то еще. Предположим, мы экспериментируем с идеями, которые нашли, и наткнемся на то, что выглядит как (a + b)2. Мы можем подумать об этом как о площади квадрата.

Если квадрат имеет длину стороны тили-тили, его площадь равна (тили-тили) · (тили-тили), или (тили-тили)2. Поэтому мы можем думать о (a + b)2 как как о площади квадрата со стороной (a + b). Изобразим этот квадрат, а потом добавим на него картинку, как на рис. 1.4. Выглядит она как нечто кривобокое с подписями, но это всего лишь две прямые линии, которые делят стороны на части с длинами a и b. Это дает возможность двумя способами говорить об одном и том же. Поскольку рисование линий на квадрате не меняет его площади, мы видим, что:

Теперь вам не нужно вспоминать эту формулу. Посмотрим, нельзя ли таким же способом изобрести более сложную:

Два любых перемноженных числа, то есть в общем виде (тили-тили) ⋅ (трали-вали), можно представлять как площадь прямоугольника со сторонами длиной тили-тили и трали-вали. Нарисуем картинку, где (тили-тили) — это (a + b), а (трали-вали) — это (c + d). Посмотрите на рис. 1.5. Он показывает, что площадь большого прямоугольника — сложенные площади всех маленьких. Суть картинки можно выразить в сжатой форме:

Теперь вам не нужно вспоминать эту формулу. Если вы забудете ее, то сможете изобрести заново. Не надо даже пытаться запоминать эти формулы. Лучше даже попытаться немедленно забыть их! В каждом математическом кабинете над доской должна быть вывешена надпись:

Поскольку ваша цель — идти по пути рассуждений самостоятельно, не следует запоминать шаги в этом выводе, лучше хорошо понять его суть, чтобы в случае забывания любой формулы (что и следует сделать) вы могли тут же изобрести ее заново за несколько секунд. Когда вы делаете это, вы обнаруживаете, что «запоминаете» вещи нечаянно, просто потому, что хорошо их понимаете. Проверить, успешен ли был для вас этот дзен-процесс «изучения без запоминания», можно так: способны ли вы применить этот ход рассуждений к чему-то новому?

Логика такова: если вы можете применить то же рассуждение в новых областях, которые никогда не видели, вы не станете просто запоминать факты

Новый контекст действует как сито, которое отсеивает такую возможность. К несчастью, в среде, которая наказывает эксперименты и неудачи (например, в школе), проверка вещей в новых контекстах становится чаще источником беспокойства, а не интеллектуальной радующей игрой, какой должна быть. Давайте забудем все это и просто поиграем.

Изобретаем нечто

Выше мы обсуждали глупую аббревиатуру FOIL для конструкции First, Outer, Inner, Last. Такой метод запоминания факта, а не понимания процесса ведет нас к созданию многочисленных «методов», и нам придется запомнить их. Например, справедливо:

Это уродливое предложение, и никто в здравом уме не хотел бы его запоминать. Если бы нашей целью было просто зафиксировать это, а не понять общие стратегии рассуждений, мы могли бы использовать тот же подход, что и парень, который изобрел аббревиатуру FOIL, и назвать это методом LT.MT.RT.15.16.24.26.34.355. Давайте так не делать. Вместо этого применяйте ту же стратегию, что и выше (рисуем картинку и внимательно смотрим на нее), чтобы изобрести это уродливое выражение для себя. Подсказка: нарисуйте квадрат и разделите каждую сторону на три части, а не на две, как раньше.

А теперь пора развлечься в трех измерениях и посмотреть, не работают ли те же рассуждения здесь. Мы действительно не хотим запоминать безобразное предложение вроде такого:

Вместо того чтобы запоминать это, изобретем его тем же способом, что и раньше: нарисуем картинку и внимательно посмотрим на нее. Подсказка: нарисуйте куб и разделите каждую его сторону на две части. Изучите рис. 1.6. Попробуйте сначала первый пример: в этом случае наглядно представлять труднее, и если вы застрянете, легко приуныть и решить, будто вы не улавливаете идею, хотя на самом деле вы ее понимаете.

Хотя такой метод рассуждений позволяет нам изобретать вещи, которые другие просили нас запоминать, есть два неприятных обстоятельства. Во-первых, это не так просто (вскоре я объясню, в чем дело). Во-вторых, это, по сути, бесполезно для штук вроде (a + b)4 или (a + b)100, поскольку человеческому разуму тяжело визуально представить объекты, если измерений больше трех. Оказывается, есть средство от обеих проблем.

[…]

Предположим, у нас есть лист бумаги. Представьте, что он рвется на две произвольные части. Даже если мы ничего не знаем о площадях численно, ясно, что площадь исходного листка равна сумме площадей двух обрывков. Мы можем открыть заново метод FOIL и все его более сложные варианты в любом числе измерений (независимо от того, способны ли мы нарисовать подходящую картинку или нет), просто применяя идею разрывания раз за разом. Запишем ее в сокращенной форме.

Предположим, мы придумываем что-то и добрались до места, где написали нечто вроде (нечто) ⋅ (a + b) или, возможно, (a + b) ⋅ (нечто). Это одно и то же, рассуждение работает для обоих случаев. Пусть, как и ранее, мы можем изобразить это в виде площади прямоугольника, две стороны которого имеют длину (нечто), а две другие — (a + b). Если мы порвем его точно вдоль линии, как показано на рис. 1.7, у нас получится один кусок площадью a ⋅ (нечто) и второй площадью b ⋅ (нечто). Это не меняет общей площади (мы не выбрасываем никаких частей), так что должно быть верно следующее:

Я буду называть это очевидным законом разрывания вещей, но имя здесь не важно. Называйте как угодно. В учебниках используют термин «распределительный закон». Звучит претенциозно, но такое имя тоже имеет смысл. […]

Сейчас, если мы хотим, чтобы у нас все выглядело как в учебнике, можно написать в очевидном законе букву c вместо (нечто). Это тоже годится, я писал (нечто), чтобы напоминать, что закон верен независимо от того, на что похоже (нечто). Если оказалось бы, что это сумма двух вещей (или если бы нам захотелось представить это так), мы могли бы заменить (нечто) чем-то вроде (c + d) и переписать очевидный закон:

Однако, снова используя очевидный закон (для каждой из частей справа), мы получаем:

то есть ровно то выражение, которое мы изобрели ранее, рисуя картинки. Вышеприведенное предложение — также метод FOIL. Но поскольку мы изобрели его с помощью очевидного закона, нам не нужно запоминать его. На старт, внимание, забудьте это навсегда!

Очевидный закон выглядит обыденно. Вдобавок выясняется, что он предлагает нам окно в высшие измерения. Визуальный способ размышлений о (a + b)3 требует рисовать трехмерный объект (куб), и мы быстро замечаем, что метод не особо поможет нам для (a + b)4 или любых более высоких степеней, ведь мы не можем представить себе четырехмерные объекты. Но даже если нам неинтересна алгебраическая тягомотина вроде разложения (a + b)4 ради нашей собственной пользы, нас могут интересовать более глубокие вопросы, например как разрезать четырехмерный куб вдоль каждой из трехмерных «поверхностей», ни одну из которых мы не можем изобразить в силу ограничений человеческого мозга. Но это мы, приматы, сталкиваемся с проблемами визуального метода, а очевидный закон не имеет такого ограничения. Поэтому, если есть желание, мы могли бы применить очевидный закон к чему-то вроде разложения (a + b)4 несколько раз, и как только мы бы полностью распутали его, получившееся (надо сказать, весьма длинное) выражение обеспечило бы нам небольшое проникновение в четырехмерную геометрию. Например, число слагаемых в итоговом выражении было бы числом кусков, на которые можно разрезать четырехмерный куб по трехмерным плоскостям. Понятия не имею, как изобразить то, что я сейчас сказал, но это правда! Так должно быть. Всего лишь используя обиходный факт о разрывании прямоугольника надвое, мы можем уговорить математику рассказать нам то, что находится далеко за пределами возможностей визуализации человеческого мозга.

В рубрике «Открытое чтение» мы публикуем отрывки из книг в том виде, в котором их предоставляют издатели. Незначительные сокращения обозначены многоточием в квадратных скобках.
Мнение автора может не совпадать с мнением редакции.